Câu hỏi:

13/07/2024 813

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD

d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối  (ảnh 1)

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left. \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right\} \Rightarrow EAOD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà AD ^ EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \[\widehat {AOD} = 90^\circ \] nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Þ ΔECF = ∆FDE (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân.

Mà O là trung điểm của EF Þ OI ^ EF (trong tam giác cân đường trung tuyến cũng là đường cao)

c) Ta có: ΔAED = ∆ABO = ∆BCO = ∆COD = ∆DOA = ∆BFC

SAED + SABO + SBCO + SCOD + SDOA + SBFC = SABFCDE = 6

Þ SABO = SBCO = SCOD = SDOA = 1

Þ SABCD = SABO + SBCO + SCOD + SDOA = 4

\( \Rightarrow AB = BC = CD = AD = \sqrt 4 = 2\)

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM với AK, ta có:

IO ^ FE Þ IO ^ AB Þ OM ^ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB (cmt)

MN // BK (vì MO // CD)

Do đó NA = NK

Þ N là trung điểm của AK

Þ IN là đường trung tuyến của ∆AIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G Î IN

Þ G Î M với IM cố định (I, M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.

Xem đáp án » 13/07/2024 33,770

Câu 2:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Xem đáp án » 13/07/2024 22,108

Câu 3:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính  \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).

Xem đáp án » 13/07/2024 19,617

Câu 4:

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 13,209

Câu 5:

Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125, 11.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,764

Câu 6:

Hãy tính biểu thức sau: A = 2.sin 30° − 2.cos60° + tan 45°.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,344

Câu 7:

Gọi S là tập các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 1400.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,188
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua