Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD

d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left. \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right\} \Rightarrow EAOD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà AD ^ EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \[\widehat {AOD} = 90^\circ \] nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Þ ΔECF = ∆FDE (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân.

Mà O là trung điểm của EF Þ OI ^ EF (trong tam giác cân đường trung tuyến cũng là đường cao)

c) Ta có: ΔAED = ∆ABO = ∆BCO = ∆COD = ∆DOA = ∆BFC

S_AED + S_ABO + S_BCO + S_COD + S_DOA + S_BFC = S_ABFCDE = 6

Þ S_ABO = S_BCO = S_COD = S_DOA = 1

Þ S_ABCD = S_ABO + S_BCO + S_COD + S_DOA = 4

\( \Rightarrow AB = BC = CD = AD = \sqrt 4 = 2\)

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM với AK, ta có:

IO ^ FE Þ IO ^ AB Þ OM ^ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB (cmt)

MN // BK (vì MO // CD)

Do đó NA = NK

Þ N là trung điểm của AK

Þ IN là đường trung tuyến của ∆AIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G Î IN

Þ G Î M với IM cố định (I, M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.