Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD

a) Chứng minh rằng: CH = DK

b) Chứng minh rằng: S_AHKB = S_ACB + S_ADB

c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30 cm, CD = 18 cm

a) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AB 

Kẻ OE vuông góc với CD (E thuộc CD)

Suy ra E là trung điểm của CD 

Mà OE là đường trung bình của hình thang ABKH (đi qua trung điểm một cạnh bên và song song với cạnh đáy)

Þ EH = EK mà EC = ED

Suy ra CH = DK (đpcm)

b) Hạ CG, DF ^ AB tại G, F

Þ CG // DF

Þ Tứ giác CDGF là hình thang.

Lấy I là trung điểm của GF.

 Xét hình thang CDGF có:

EC = ED (E là trung điểm của CD)

IG = IF (I là trung điểm của GF)

Þ EI là đường trung bình của hình thang CDFG

\( \Rightarrow EI = \frac{{DF + CG}}{2}\)

Ta có: \[{S_{ACB}} + {S_{ADB}} = \frac{{AB + CG}}{2} + \frac{{AB + DF}}{2} = AB\,.\,\frac{{CG + DF}}{2} = AB\,.\,EI\] (1)

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH, BK lần lượt ở M, N.

Dễ thấy tứ giác AMNB là hình bình hành (vì có 2 cặp cạnh đối song song )

Þ S_AMNB = AB.EI

Xét ∆MHE và ∆NKE có:

\(\widehat {MEH} = \widehat {NEK}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {MHE} = \widehat {NKE} = 90^\circ \)

EM = EN

Do đó ∆HEM = ∆KEN (cạnh huyền – góc nhọn)

Þ S_HEM = S_KEN

Khi đó: 

S_AHKB = S_AMEKB + S_MHE = S_AMEKB + S_ENK = S_AMNB = AB.EI (2)

Từ (1) và (2) Þ S_AHKB = S_ACB + S_ADB

c) \({S_{AHKB}} = \frac{{\left( {AH + BK} \right)\,.\,HK}}{2} = \frac{{2OE\,.\,HK}}{2} = OE\,.\,HK\)

\(OE = \sqrt {O{D^2} - E{D^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12\)

Þ S = 12.HK ≤ 12.AB = 12.30 = 360

Þ S_max = 360.