Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là trung điểm OA. N là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt các tiếp tuyến tại A và B tại C và D. Tìm vị trí của N để diện tích tam giác DMC min.

Tứ giác AMNC có \(\widehat {MAC} + \widehat {MNC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp đường tròn

Khi đó \(\widehat {CNM} = \widehat {CMA}\) (Hai góc cùng chắn cung CA)

Chứng minh tương tự ta được MBDN là tứ giác nội tiếp nên suy ra

\(\widehat {DNB} = \widehat {DMB}\) (Hai góc cùng chắn cung DB)

Suy ra \(\widehat {CNM} + \widehat {DNB} = \widehat {CMA} + \widehat {DMB}\)

\( \Rightarrow 180^\circ - \left( {\widehat {CNM} + \widehat {DNB}} \right) = 180^\circ - \left( {\widehat {CMA} + \widehat {DMB}} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {CMD} \Rightarrow \widehat {CMD} = 90^\circ \Rightarrow CM \bot DM\)

Suy ra \[\widehat {CMA} + \widehat {DMB} = 90^\circ \]

Mà \[\widehat {CMA} + \widehat {ACM} = 90^\circ \]

Do đó \(\widehat {ACM} = \widehat {BMD}\)

Xét ∆ACM và ∆BMD có:

\(\widehat {ACM} = \widehat {BMD}\) (cmt)

\(\widehat {CAM} = \widehat {MBD} = 90^\circ \)

Suy ra ∆ACM ᔕ ∆BMD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BM}} \Rightarrow AM\,.\,BM = BD\,.\,AC\) (không đổi)

Theo Bunhiacopxki, ta có:

(AM.BM + AC.BD)² ≤ (AM² + AC²)(BM² + BD²) = MC².MD² = 4(S_DMC)²

Þ S_DMC đạt giá trị nhỏ nhất khi AC = AM, BD = BM