Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 6a, AD = 3a, CD = 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = a. Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \).

Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB

Tứ giác ADCE là hình vuông Þ CE = 3a

\( \Rightarrow CE = \frac{1}{2}AB\) Þ ∆ACB vuông tại C

Theo định lý Py-ta-go ta tính được \(AC = CB = 3\sqrt 2 a\)

\(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \)

\( = \left( {3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \)

\( = \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \)

\( = \overrightarrow {DA} \,.\,\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {CB} + 2\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {CB} \)

\( = 3a.\,3\sqrt 2 a\,.\,\cos 45^\circ + 6a.\,3\sqrt 2 a\,.\,\cos 45^\circ + 2AC.\,CB\,.\,\cos 90^\circ \)

= 27a²