Câu hỏi:
13/07/2024 373
Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh: \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{3}{2}\).
Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh: \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{3}{2}\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }}\)
\( = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + xy + yz + zx} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}\)
\( = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
• \(\frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}}} \right)\)
• \(\frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{y}{{y + x}}} \right)\)
• \(\frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}}} \right)\)
Cộng vế theo vế:
\(\frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{x + y}}{{x + y}} + \frac{{y + z}}{{y + z}} + \frac{{z + x}}{{z + x}}} \right) = \frac{3}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Xem đáp án »
13/07/2024
31,750
Câu 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,733
Câu 3:
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,162
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,802
Câu 6:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,236
Câu 7:
Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
1,954
về câu hỏi!