Câu hỏi:

13/07/2024 124

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.

a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.

b) Chứng minh DF ^ CE và ∆MAD cân.

c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của (ảnh 1)

a) Xét ∆AEH và ∆BEF, có:

AE = BE (E là trung điểm AB);

AH = BF (do \(AH = \frac{1}{2}AD,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AD = BC);

\(\widehat {HAE} = \widehat {EBF} = 90^\circ \)

Do đó ∆AEH = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra HE = EF (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được EF = GF và GH = GF.

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi (1)

Ta có BE = BF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC)

và \(\widehat {EBF} = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông).

Suy ra ∆BEF vuông cân tại B.

Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \)

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 45^\circ \)

Ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) (kề bù).

\( \Leftrightarrow \widehat {HEF} = 180^\circ - \widehat {AEH} - \widehat {FEB} = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \;\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.

b) Xét ∆CBE và ∆DCF, có:

CB = DC (ABCD là hình vuông);

\(\widehat {CBE} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)

BE = CF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;CF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC).

Do đó ∆CBE = ∆DCF (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {FDC}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {DFC} + \widehat {FDC} = 90^\circ \) (∆DFC vuông tại C).

Do đó \(\widehat {DFC} + \widehat {ECB} = 90^\circ \)

Tam giác CFM, có: \(\widehat {CMF} = 180^\circ - \left( {\widehat {DFC} + \widehat {ECB}} \right) = 90^\circ \)

Vậy DF ^ CE tại M.

Gọi P là giao điểm của AG và DF.

Chứng minh tương tự như trên, ta được AG ^ DF tại P.

Mà CE ^ DF (chứng minh trên).

Suy ra CE // AG.

∆DMC có: G là trung điểm của DC (giả thiết) và PG // MC (chứng minh trên).

Suy ra GP là đường trung bình của ∆DMC.

Do đó P là trung điểm DM.

∆AMD có: AP vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Vậy ∆AMD cân tại A.

c) Xét ∆DMC và ∆DCF, có:

\(\widehat {MDC}\) chung;

\(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)

Do đó ∆DMC ∆DCF (g.g).

Suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{CF}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) (*)

Ta có \({S_{DMC}} = \frac{1}{2}MC\,.\,MD\)\({S_{DCF}} = \frac{1}{2}DC\,.\,CF\)

Suy ra \(\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{DCF}}}} = \frac{{MC\,.\,MD}}{{DC\,.\,CF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}\)

Do đó \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,{S_{DCF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,\frac{1}{2}CD\,.\,CF = \frac{{D{M^2}}}{{{a^2}}}\,.\,\frac{1}{2}a\,.\,\frac{a}{2} = \frac{{D{M^2}}}{4}\)

Tam giác CDF vuông tại C:

\(DF = \sqrt {D{C^2} + C{F^2}} = \sqrt {D{C^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Từ (*), ta có: DM.DF = DC2.

\( \Leftrightarrow DM\,.\,\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow DM\, = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Vậy \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{4} = {\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2}\,.\,\frac{1}{4} = \frac{{{a^2}}}{5}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.

Xem đáp án » 13/07/2024 31,748

Câu 2:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Xem đáp án » 13/07/2024 10,732

Câu 3:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính  \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).

Xem đáp án » 13/07/2024 9,160

Câu 4:

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,801

Câu 5:

Hãy tính biểu thức sau: A = 2.sin 30° − 2.cos60° + tan 45°.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,776

Câu 6:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.

b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,235

Câu 7:

Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).

Xem đáp án » 13/07/2024 1,954

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store