Cho hai số dương x; y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Chứng minh:

\({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\)

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} = {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3y}}{{4xy}} \le {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3y\left( {x + y} \right)}}{{4xy}}\)

\( \le {x^2} - \frac{{4{x^2} + 3xy + {y^2}}}{{4xy}} = {x^2} - \frac{{{x^2} + 3xy + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{4xy}}\)

\( \le {x^2} - \frac{{{x^2} + 3xy + 6xy}}{{4xy}} = {x^2} - \frac{{{x^2}}}{{4xy}} - \frac{9}{4}\)

\( \le {x^2} - \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} - \frac{9}{4} \le {x^2} - \frac{{{x^2}}}{1} - \frac{9}{4} = - \frac{9}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\) khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: cos x = − cos (180° − x) Þ cos² x = cos² (180° − x)

sin x = cos (90° − x)

sin² x + cos² x = 1

A = cos²10° + cos²20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos²10° + cos²20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos²10° + cos²20° + ... + cos² 80° + cos² 90° + cos² 80° + cos² 70° + ... + cos² 0°

= cos²0° + cos²90° + 2(cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80°)

= 1 + 0 + 2(cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + cos² 40° + sin² 40° + sin² 30° + sin² 20° + sin² 10°)

= 1 + 0 + 2 . 4 = 9.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số là \(\overline {abc} \;\,\,\left( {a \ne 0;\;a \ne b \ne c} \right)\).

Theo đề, ta có a + b + c = 18

Þ (a; b; c) = {(1; 8; 9); (2; 7; 9); (3; 6; 9); (4; 5; 9); (3; 7; 8); (4; 6; 8); (5; 6; 7)}.

Vậy số tự nhiên có 3 chữ số mà tổng bằng 18 là 7.3! = 42 (số).

Câu 3