Câu hỏi:
13/07/2024 917Cho x, y là hai số dương thoả mãn x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức
\(P = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{2}{{xy}}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
\[P = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{2}{{xy}}\]
\[ = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{1}{{6xy}} + \frac{1}{{6xy}} + \frac{5}{{3xy}}\]
\( \ge \frac{{16}}{{4{x^2} + 4{y^2} + 12xy + 4}} + \frac{5}{{3xy}}\)
\( = \frac{{16}}{{4{{\left( {x + y} \right)}^2} + 4xy + 4}} + \frac{5}{{3xy}}\)
\( \ge = \frac{{16}}{{4{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4}} + \frac{5}{{3\,.\,\frac{1}{4}{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{7}{3}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
Vậy \({P_{\min }} = \frac{7}{3}\) khi x = y = 1.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Câu 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Câu 3:
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Câu 7:
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
về câu hỏi!