Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.

d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm². Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

a) Xét tứ giác BDEF, ta có:

C là trung điểm của BE (vì E đối xứng B qua C)

C là trung điểm của DF (vì F đối xứng D qua C)

Nên tứ giác BDEF là hình bình hành

Lại có BE ^ DF tại C (vì ABCD là hình chữ nhật)

Vậy BDEF là hình thoi

b) Ta có AC = BD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Mà BD = DE (vì BDEF là hình thoi)

Vậy AC = DE

c) Ta có AD = BC (vì ABCD là hình chữ nhật)

Mà BC = CE (vì E đối xứng B qua C)

Nên AD = CE

Xét tứ giác ADEC, ta có:

AC = DE(cmt)

AD = CE(cmt)

 Nên tứ giác ADEC là hình bình hành

Lại có H là trung điểm của CD

Do đó H cũng là trung điểm của AE

Xét ∆AEF, ta có:

H là trung điểm của AE (cmt)

K là trung điểm của EF (gt)

Nên HK là đường trung bình của ∆AEF

Do đó HK // AF

d) Ta có S_∆AEF = S_∆AHF + S_∆EHF

\( \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}AD\,.\,HF + \frac{1}{2}EC\,.\,HF\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}HF\,.\,\left( {AD + EC} \right) = 30\)

Þ HF.(AD + AD) = 60

Þ 2HF.AD = 60

\( \Rightarrow 2\,.\,\frac{3}{2}CD\,.\,AD = 60\)

Þ CD.AC = 20

Þ S_ABCD = 20 (cm²)