Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.

d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm². Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Ta có: cos x = − cos (180° − x) Þ cos² x = cos² (180° − x)

sin x = cos (90° − x)

sin² x + cos² x = 1

A = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80° + cos² 90° + cos² 80° + cos² 70° + ... + cos² 0°

= cos² 0° + cos² 90° + 2(cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80°)

= 1 + 0 + 2(cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + cos² 40° + sin² 40° + sin² 30° + sin² 20° + sin² 10°)

= 1 + 0 + 2 . 4 = 9.

\(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DC} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BA} + {\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {DC} \,.\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \,.\,\overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {DC} = {a^2} - a\,.\,2a = - {a^2}\)