Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)

a) Ta có: E là điểm đối xứng với B qua C

Suy ra C là trung điểm của BE nên BC = EC

Xét tứ giác ACED ta có:

AD // EC (AD // BC)

AD = CE (= BC)

Suy ra ACED là hình bình hành.

b) Xét ∆ABM và ∆FCM ta có:

\[\widehat {ABM} = \widehat {FCM} = 90^\circ \]

MB = MC (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMF}\) (Hai góc đối đỉnh)

Þ ∆ABM = ∆FCM (g.c.g)

Þ AB = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = DC (gt) Þ DC =F

Xét tứ giác BDEF ta có:

BE ^ DF

BE Ç DF = C

C là trung điểm của BE và DF

Þ BDEF là hình thoi

c) Gọi AC Ç BD = H; AI Ç BD = O

Ta có: ACED là hình bình hành

Mà AE Ç CD = I

Þ I là trung điểm của CD

Lại có O là trung điểm của AC

Þ H là trực tâm của ∆ACD

\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)

Mà I là trung điểm của AE \( \Rightarrow AI = \frac{1}{2}AE \Rightarrow IH = \frac{1}{6}AE\)

Ta có: BDEF là hình thoi

Þ DF là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\) (tính chất hình thoi)

\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {CDE}\)

Ta có BDEF là hình thoi

Þ BD = DE (hai cạnh bên)

Xét ∆BDI và ∆EDI ta có:

DI chung

\(\widehat {IDB} = \widehat {IDE}\) (cmt)

BD = DE (cmt)

Þ ∆BDI = ∆EDI (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {DEI}\) (hai góc tương ứng)

Và IE = IB (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆HBI và ∆KEI ta có:

\(\widehat {HBI} = \widehat {KEI}\) (cmt)

IE = IB (cmt)

\(\widehat {HIB} = \widehat {KIE}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆HBI = ∆KEI (g.c.g)

Suy ra HI = IK (hai cạnh tương ứng).

Vậy \(IK = \frac{1}{6}AE\) (đpcm)