Câu hỏi:

05/07/2023 364

Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Theo AM-GM ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{a\left( {b + c + d} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{a^2}}\\{\frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{b\left( {c + d + a} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{b^2}}\\{\frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{c\left( {d + a + b} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{c^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} + \frac{{2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)}}{9}\)

\( \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo AM-GM ta có:

\(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + {d^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} + {d^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right)\)

\( \ge 2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) \ge \frac{2}{9}\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\)

Mặt khác ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + {d^2}}}{2} + \frac{{{d^2} + {a^2}}}{2} \ge ab + bc + cd + da = 1\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\).

Dấu "=" xảy ra khi: \(a = b = c = d = \frac{1}{2}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Xem đáp án » 13/07/2024 33,073

Câu 2:

Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

Xem đáp án » 12/07/2024 12,567

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?

Xem đáp án » 13/07/2024 5,677

Câu 4:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

Xem đáp án » 12/07/2024 4,739

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,550

Câu 6:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5

Xem đáp án » 12/07/2024 3,776

Câu 7:

Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,738
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua