Câu hỏi:
05/07/2023 265
Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\]
Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\]
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Theo AM-GM ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{a\left( {b + c + d} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{a^2}}\\{\frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{b\left( {c + d + a} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{b^2}}\\{\frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{c\left( {d + a + b} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{c^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} + \frac{{2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)}}{9}\)
\( \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)
Theo AM-GM ta có:
\(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + {d^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} + {d^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right)\)
\( \ge 2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) \ge \frac{2}{9}\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\)
Mặt khác ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + {d^2}}}{2} + \frac{{{d^2} + {a^2}}}{2} \ge ab + bc + cd + da = 1\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra:
\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\).
Dấu "=" xảy ra khi: \(a = b = c = d = \frac{1}{2}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Xem đáp án »
13/07/2024
31,398
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,380
Câu 3:
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,418
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,959
Câu 5:
Chứng minh biểu thức sau luôn lớn hơn 0 với mọi x:
A = x2 + 5x + 9.
Chứng minh biểu thức sau luôn lớn hơn 0 với mọi x:
A = x2 + 5x + 9.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,685
Câu 6:
Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.
Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,662
Câu 7:
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Xem đáp án »
12/07/2024
1,607
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!