Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là (x₁; y₁), N có tọa độ là (x₂; y₂).

a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.

b) Tính MN², M'N'² theo tọa độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.

Lời giải:

Đường thẳng d đối xứng với ∆ qua trục Ox hay d là ảnh của ∆ qua phép đối xứng trục Ox.

Cách 1:

Lấy hai điểm A(1; 0) và B(– 1; 1) thuộc ∆.

Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.

Khi đó A'(1; 0) và B'(– 1; – 1).

Vì d là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( { - 2;\, - 1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\, - 2} \right)\).

Vậy d có phương trình là 1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.

Cách 2:

Gọi M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x' = x và y' = – y.

Ta có: M ∈ ∆ ⇔ x + 2y – 1 = 0 ⇔ x' + 2.(– y') – 1 = 0 ⇔ x' – 2y' – 1 = 0 ⇔ M' thuộc đường thẳng d có phương trình là x – 2y – 1 = 0.

Lời giải:

Cách 1:

Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.

Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.

Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).

Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\).

Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.

Cách 2:

Gọi M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x' = x và y' = – y.

Ta có: M ∈ d ⇔ 3x – y – 1 = 0 ⇔ 3x' – (– y') – 1 = 0 ⇔ 3x' + y' – 1 = 0 ⇔ M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là 3x + y – 1 = 0.