Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ K_n có một chu trình Hamilton? Có một đường đi Hamilton?

Lời giải:

Đồ thị đầy đủ K_n có n ≥ 2, n ∈ ℕ.

+ Với n = 2 ta có K₂ không có chu trình Hamilton, nhưng có đường đi Hamilton (đi từ đỉnh này qua đỉnh còn lại).

+ Với n ≥ 3, n ∈ ℕ.

Đồ thị đầy đủ K_n­ là một đơn đồ thị có n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là n – 1.

- Sử dụng định lí Ore, ta thấy K_n có một chu trình Hamilton khi mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn n, tức là (n – 1) + (n – 1) ≥ n, tương đương với n ≥ 2, kết hợp với điều kiện suy ra n ≥ 3, n ∈ ℕ. (Ta cũng có thể sử dụng định lí Dirac để tìm điều kiện của n)

- Sử dụng Định lí 4 (suy ra từ định lí Dirac), ta thấy K_n có một đường đi Hamilton khi mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn \(\frac{{n - 1}}{2}\), tức là n – 1 ≥ \(\frac{{n - 1}}{2}\), tương đương với n ≥ 1, kết hợp với điều kiện suy ra n ≥ 3, n ∈ ℕ.

Vậy với n ≥ 3, n ∈ ℕ thì đồ thị đầy đủ K_n có một chu trình Hamilton và với n ≥ 2, n ∈ ℕ thì đồ thị đầy đủ K_n có một đường đi Hamilton.