Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ K_n có một chu trình Hamilton? Có một đường đi Hamilton?

Lời giải:

+) Đồ thị Hình 2.24 a) có các đỉnh đều có bậc là 3 nên theo định lí Euler đồ thị này không có chu trình Euler.

Lại có đồ thị a) có 4 đỉnh, tổng số bậc của hai đỉnh không kề nhau luôn không nhỏ hơn 4 nên theo định lí Ore, đồ thị a) có một chu trình Hamilton.

Một chu trình Hamiltol của đồ thị a) là ABCDA.

+) Đồ thị Hình 2.24 b) liên thông và có các đỉnh đều có bậc chẵn (ở đây là bậc 4) nên theo định lí Euler, đồ thị này có một chu trình Euler. Một chu trình Euler của đồ thị này là ABCDEADBECA.

Lại có đồ thị b) có 5 đỉnh, tổng số bậc của hai đỉnh không kề nhau luôn không nhỏ hơn 5 nên theo định lí Ore, đồ thị b) có một chu trình Hamilton.

Một chu trình Halminton của đồ thị này là ABCDEA.

+) Đồ thị Hình 2.24 c) có các đỉnh đều có bậc là 3 nên theo định lí Euler đồ thị này không có chu trình Euler.

Lại có đồ thị c) có 8 đỉnh, mặc dù đồ thị này không thỏa mãn cả 2 định lí Ore và Dirac nhưng đồ thị vẫn có một chu trình Hamilton.

Một chu trình Hamiltol của đồ thị c) là ABCDHGFEA.

+) Đồ thị Hình 2.24 d) có đỉnh A và B là đỉnh bậc 3, nên theo định lí Euler đồ thị này không có chu trình Euler. Đồ thị d) này cũng không có chu trình Hamilton.

Lời giải:

- Đồ thị Hình 2.19a có đường đi Euler từ A đến B vì đồ thị này liên thông và các đỉnh A, B có bậc 3 (bậc lẻ), còn các đỉnh C, D, E đều có bậc 2 (bậc chẵn). Một đường đi Euler của đồ thị này là ACBDAEB.

- Đồ thị Hình 2.19b không có đường đi Euler vì đồ thị này có bốn đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3).