Kính lục phân là một dụng cụ quang học sử dụng gương quay để thực hiện phép quay Q_{(O, φ)} biến tia Ox (song song với đường chân trời) thành tia Oy (song song với trục Trái Đất), nhờ đó đo được góc φ giữa trục của Trái Đất và đường chân trời tại vị trí của người đo. Hãy giải thích tại sao góc φ của phép quay này lại cho ta vĩ độ tại điểm sử dụng kính.

a)

Với A(–4; 2) và A’(2; 4), ta có $\overrightarrow{OA}=\left(-4;2\right),\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=\left(2;4\right),\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(6;2\right)$.

Do đó $OA=O{A}^{\text{'}}=2\sqrt{5}$ và $A{A}^{\text{'}}=2\sqrt{10}$.

Suy ra $\cos \widehat{AO{A}^{\text{'}}}=\frac{O{A}^2+O{A^{\text{'}}}^2-A{A^{\text{'}}}^2}{2.OA.O{A}^{\text{'}}}=\frac{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-{\left(2\sqrt{10}\right)}^2}{2.2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=0$.

Do đó $\widehat{AO{A}^{\text{'}}}=90°$.        

Mà khi quay đoạn OA (với tâm O) theo hướng cùng chiều kim đồng hồ một góc 90° thì ta được đoạn OA’. Tức là, phép quay có góc quay lượng giác theo chiều âm một góc 90°.

Vì vậy góc lượng giác (OA, OA’) = –90°.

Vậy A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

Chứng minh tương tự, ta thu được B’, C’ theo thứ tự là ảnh của B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

b) Từ câu a, ta có phép quay tâm O, góc quay –90° biến ∆ABC thành ∆A’B’C’.

Ta có: ∆A1B1C1 là ảnh của ∆A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox nên:

• A1 = ĐOx(A’), do đó hai điểm A1­ và A’(2; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra A1(2; –4).

• B1 = ĐOx(B’), do đó hai điểm B1­ và B’(5; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra B1(5; –4).

• C1 = ĐOx(C’), do đó hai điểm C1­ và C’(3; 1) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra C1(3; –1).

Vậy tọa độ các đỉnh của ∆A1B1C1 thỏa mãn yêu cầu bài toán là A1(2; –4), B1(5; –4), C1(3; –1).