Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.

Gọi f là phép đồng dạng cần tìm.

⦁ Để tìm phép biến hình biến hình (A) thành hình (B), ta tìm phép biến hình biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta thấy các đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại I.

Xét phép vị tự tâm I, tỉ số k biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta có V(I, k)(M) = M’.

Suy ra $\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OM}$ và OM’ = |k|.OM.

Vì M, M’ nằm cùng phía đối với I nên k > 0.

Do đó $k=\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}$.

Tương tự ta cũng có $k=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON},k=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP},k=\frac{O{Q}^{\text{'}}}{OQ}$

Do đó $k=\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON}=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP}=\frac{O{Q}^{\text{'}}}{OQ}$

Vì vậy $V_{\left(I,\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}\right)}$ là phép biến hình biến hình (A) thành hình (B).

⦁ Ta thấy OP’ = OP” và $\widehat{P^{\text{'}}O{P^{\text{'}}}^{\text{'}}}=90°$.

Suy ra phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm P’ thành điểm P”.

Chứng minh tương tự, ta thấy Q(O, 90°) cũng biến các điểm khác trên hình (B) thành các điểm có vị trí tương ứng trên hình (C).

Vì vậy Q(O, 90°) biến hình (B) thành hình (C).

⦁ Xét hai điểm N, P, ta có:

+) N’ = V(I, k)(N) và N” = Q(O, 90°)(N’);

+) P’ = V(I, k)(P) và P” = Q(O, 90°)(P’).

Do đó:

+) N’P’ = V(I, k)(NP). Suy ra N’P’ = k.NP;

+) N”P” = Q(O, 90°)(N’P’). Suy ra N”P” = N’P’.

Vì vậy N”P” = N’P’ = k.NP.

Vậy f là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) biến (A) thành (C) thỏa mãn (B) = V(I, k)((A)) và (C) = Q(O, 90°)((B));