Cho đồ thị có trọng số như Hình 16.

a) Tính độ dài các đường đi ABCD, MBNCP.

b) Chỉ ra ba đường đi khác nhau từ M đến N và tính độ dài của chúng.

c) MBC có phải là đường đi ngắn nhất từ M đến C không?

– Gán nhãn cho A bằng 0 (tức là, n_A = 0), các đỉnh khác bằng ∞. Khoanh tròn đỉnh A.

– Tại các đỉnh kề với A, gồm B, C, D, ta có:

⦁ n_B = n_A + w_AB = 0 + 3 = 3. Vì 3 < ∞ nên ta đổi nhãn của B thành 3.

⦁ n_C = n_A + w_AC = 0 + 6 = 6. Vì 6 < ∞ nên ta đổi nhãn của C thành 6.

⦁ n_D = n_A + w_AD = 0 + 5 = 5. Vì 5 < ∞ nên ta đổi nhãn của D thành 5.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là B nên ta khoanh tròn đỉnh B (đỉnh gần đỉnh A nhất, chỉ tính các đỉnh khác đỉnh A).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh B gồm C, E, ta có:

⦁ n_C = n_B + w_BC = 3 + 2 = 5. Vì 5 < 6 (6 là nhãn hiện tại của C) nên ta đổi nhãn của C thành 5.

⦁ n_E = n_B + w_BE = 3 + 10 = 13. Vì 13 < ∞ nên ta đổi nhãn của E thành 13.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là C, D (đều có nhãn là 5) nên ta tùy ý khoanh tròn đỉnh C (đỉnh gần đỉnh A thứ hai).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh C gồm E, D, F, I, ta có:

⦁ n_E = n_C + w_CE = 5 + 5 = 10. Vì 10 < 13 (13 là nhãn hiện tại của E) nên ta đổi nhãn của E thành 10.

⦁ n_D = n_C + w_CD = 5 + 3 = 8. Vì 8 > 5 (5 là nhãn hiện tại của D) nên ta giữ nguyên nhãn của D là 5.

⦁ n_F = n_C + w_CF = 5 + 6 = 11. Vì 11 < ∞ nên ta đổi nhãn của F thành 11.

⦁ n_I = n_C + w_CI = 5 + 8 = 13. Vì 13 < ∞ nên ta đổi nhãn của I thành 13.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là D nên ta khoanh tròn đỉnh D (đỉnh gần đỉnh A thứ ba).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh D chỉ có đỉnh F, ta có:

n_F = n_D + w_DF = 5 + 7 = 12.

Vì 12 > 11 (11 là nhãn hiện tại của F) nên ta giữ nguyên nhãn của F là 11.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là E nên ta khoanh tròn đỉnh E (đỉnh gần đỉnh A thứ tư).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh E chỉ có đỉnh I, ta có:

n_I = n_E + w_EI = 10 + 2 = 12.

Vì 12 < 13 (13 là nhãn hiện tại của I) nên ta đổi nhãn của I thành 12.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là F nên ta khoanh tròn đỉnh F (đỉnh gần A thứ năm).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh F chỉ còn đỉnh I, ta có:

n_I = n_F + w_FI = 11 + 4 = 15.

Vì 15 > 12 (12 là nhãn hiện tại của I) nên ta giữ nguyên nhãn của I là 12.

Lúc này, ta thấy chỉ còn đỉnh I chưa được khoanh tròn nên ta khoanh tròn đỉnh I (đỉnh gần A thứ sáu).

– Nhìn ngược lại các bước trên, ta thấy:

n_I = 12 = n_E + w_EI

= n_C + w_CE + w_EI

= n_B + w_BC + w_CE + w_EI

= n_A + w_AB + w_BC + w_CE + w_EI

= w_AB + w_BC + w_CE + w_EI

= l_ABCEI.

Vậy ABCEI là đường đi ngắn nhất từ A đến I, với độ dài bằng 12.

– Gán nhãn cho A bằng 0 (tức là, n_A = 0), các đỉnh khác bằng ∞. Khoanh tròn đỉnh A.

– Tại các đỉnh kề với đỉnh A, gồm M, N, B, ta có:

⦁ n_M = n_A + w_AM = 0 + 9 = 9. Vì 9 < ∞ nên ta đổi nhãn của M thành 9.

⦁ n_N = n_A + w_AN = 0 + 5 = 5. Vì 5 < ∞ nên ta đổi nhãn của N thành 5.

⦁ n_B = n_A + w_AB = 0 + 3 = 3. Vì 3 < ∞ nên ta đổi nhãn của B thành 3.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là B nên ta khoanh tròn đỉnh B (đỉnh gần A nhất, chỉ tính các đỉnh khác A).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh B gồm M, N, ta có:

⦁ n_M = n_B + w_BM = 3 + 4 = 7. Vì 7 < 9 (9 là nhãn hiện tại của M) nên ta đổi nhãn của M thành 7.

⦁ n_N = n_B + w_BN = 3 + 10 = 13. Vì 13 > 5 (5 là nhãn hiện tại của N) nên ta giữ nguyên nhãn của N là 5.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là N nên ta khoanh tròn đỉnh N (đỉnh gần A thứ hai).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh N gồm M, C, P, ta có:

⦁ n_M = n_N + w_NM = 5 + 2 = 7. Vì 7 cũng là nhãn hiện tại của M nên ta giữ nguyên nhãn của M là 7.

⦁ n_C = n_N + w_NC = 5 + 6 = 11. Vì 11 < ∞ nên ta đổi nhãn của C thành 11.

⦁ n_P = n_N + w_NP = 5 + 12 = 17. Vì 17 < ∞ nên ta đổi nhãn của P thành 17.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là M nên ta khoanh tròn đỉnh M (đỉnh gần A thứ ba).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh M gồm D, P, ta có:

⦁ n_D = n_M + w_MD = 7 + 10 = 17. Vì 17 < ∞ nên ta đổi nhãn của D thành 17.

⦁ n_P = n_M + w_MP = 7 + 11 = 18. Vì 18 > 17 (17 là nhãn hiện tại của P) nên ta giữ nguyên nhãn của P là 17.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là C nên ta khoanh tròn đỉnh C (đỉnh gần A thứ tư).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh C chỉ có đỉnh P, ta có:

n_P = n_C + w_CP = 11 + 5 = 16. Vì 16 < 17 (17 là nhãn hiện tại của P) nên ta đổi nhãn của P thành 16.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là đỉnh P nên ta khoanh tròn đỉnh P (đỉnh gần A thứ năm).

– Nhìn lại các bước trên, ta thấy:

n_P = 16 = n_C + w_CP

= n_N + w_NC + w_CP

= n_A + w_AN + w_NC + w_CP

= w_AN + w_NC + w_CP

= l_ANCP.

Vậy ANCP là đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P, với độ dài bằng 16.