Cho ví dụ về một đồ thị liên thông và một đồ thị không liên thông. 

Gọi 6 người bất kì là A, B, C, D, E, G.

Trong 6 người đó ta chọn ra một người A.Trong 5 người còn lại ta chia thành 2 nhóm:

- Nhóm 1 gồm những người quen A.

- Nhóm 2 gồm những người không quen A.

Có 5 người mà chỉ có 2 nhóm. Do đó, tồn tại ít nhất 3 người thuộc cùng một nhóm. Tức là tồn tại ít nhất 3 người quen A hoặc tồn tại ít nhất 3 người không quen A.

- Nếu tồn tại ít nhất 3 người quen A. Gọi 3 người đó là B, C, D:

+ Nếu trong 3 người B, C, D có 2 người nào đó quen nhau. Giả sử 2 người đó là B và C thì ta có 3 người A, B, C là 3 người đôi một quen nhau.

+ Nếu trong 3 người B, C, D không có 2 người nào đó quen nhau thì 3 người B, C, D là 3 người đôi một không quen nhau.

- Nếu tồn tại 3 người không quen A. Giả sử 3 người đó là D, E, G:

+ Trong 3 người D, E, G nếu có 2 người nào đó không quen nhau. Giả sử 2 người đó là D và E thì 3 người A, D, E là 3 người đôi một không quen nhau.

+ Nếu trong 3 người D, E, G không có 2 người nào không quen nhau thì 3 người D, E, G là 3 người đôi một quen nhau.

Vậy trong 6 người bất kì luôn tồn tại 3 người đôi một quen nhau hoặc 3 người đôi một không quen nhau (đpcm).

Quan sát Hình 5a ta thấy d(A) = 2, d(B) = 3, d(C) = 2, d(D) = 2 và d(E) = 3 nên B, E là các đỉnh bậc lẻ. Vậy có hai đỉnh bậc lẻ trong đồ thị ở Hình 5a.