Câu hỏi:
25/07/2023 175
Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].
Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có: \(b + c + 2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \)
\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + a + c} \right)}^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{{a + b + a + c}}{{4\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)
\[ \Rightarrow \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\]
Tương tự ta có:
\[\frac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\]
\[\frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\]
Suy ra \(VT = \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}}\)
\( \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) + \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\left( {bc + ac} \right) + \frac{1}{{a + c}}\left( {bc + ab} \right) + \frac{1}{{b + c}}\left( {ac + ab} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\,.\,c\left( {b + a} \right) + \frac{1}{{a + c}}\,.\,b\left( {c + a} \right) + \frac{1}{{b + c}}\,.\,a\left( {c + b} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{4}\left( {c + b + a} \right) = \frac{{a + b + c}}{4} = VP\).
Vậy \[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\] (đpcm).Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Cho biểu thức: \(N = \frac{{2x - 10}}{{{x^2} - 7x + 10}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}}\).
a) Rút gọn N.
b) Tìm giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.
Cho biểu thức: \(N = \frac{{2x - 10}}{{{x^2} - 7x + 10}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}}\).
a) Rút gọn N.
b) Tìm giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.
Xem đáp án »
13/07/2024
13,066
Câu 4:
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = x + 1 + \frac{m}{{x - 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Xem đáp án »
13/07/2024
9,611
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AC = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Xem đáp án »
13/07/2024
7,744
Câu 7:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{3x + 5}}{{{{\log }_{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 4m + 5} \right)}}\) xác định với mọi x Î ℝ là:
Xem đáp án »
13/07/2024
5,629
về câu hỏi!