Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ¢(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f (x) < e^x + m đúng với mọi x Î (−1; 1) khi và chỉ khi:

Lời giải

Theo đề bài ta có:

f (x) < e^x + m Û f (x) − e^x < m

Đặt g (x) = f (x) − e^x. 

Khi đó: f (x) < e^x + m với mọi x Î (−1; 1)

Þ g (x) = f (x) − e^x < m với mọi x Î (−1; 1)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max \;}\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} g\left( x \right)\)

g¢ (x) = f¢ (x) − e^x

Trên (−1; 1) ta có:

f ¢ (x) < 0; e^x > 0 "x Î ℝ

Þ g¢ (x) < 0 "x Î (−1; 1)

Þ g (x) nghịch biến trên (−1; 1)

\( \Rightarrow \mathop {\max \;}\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)

\( \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)

Vậy bất phương trình f (x) < e^x + m đúng với mọi x Î (−1; 1) khi và chỉ khi:

\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\).