Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{4x + 7}}{{{{\log }_{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10} \right)}}\) xác định với mọi x Î ℝ.

Lời giải

ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10} \right) \ne 0\\{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10 > 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10 \ne 1\;\;\;\left( 1 \right)\\{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10 > 0\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Xét (1), x² − 2x + m² − 6m + 10 ¹ 1, "x Î ℝ

Û x² − 2x + 1 ¹ − m² + 6m − 8, "x Î ℝ

Û (x − 1)² ¹ − m² + 6m − 8, "x Î ℝ

Þ −m² + 6m − 8 < 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 2\end{array} \right.\)

Xét (2), x² − 2x + m² − 6m + 10 > 0, "x Î ℝ

Û (x² − 2x + 1) + (m² − 6m + 9) > 0, "x Î ℝ

Û (x − 1)² + (m − 3)² > 0, "x Î ℝ

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\m \ne 3\end{array} \right.\)

Vậy m Î (−∞; 2) Ç (4; +∞) thì hàm số xác định với mọi x Î ℝ.