Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }} = - 1,5\)

b) \(\left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2\)

c) \[\frac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a - \sqrt b }} = a - b\] với a, b dương và a ¹ b

d) \[\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a\] với a ³ 0; a ¹ 0

Lời giải

a) \[\left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{2\sqrt 2 - 2}} - \frac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right]\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{2} - 2} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\( = - \frac{3}{2} = - 1,5\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) \(\left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\sqrt 3 - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 7 }}\]

\[ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\,.\,\left( {\sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\]

= 5 − 7 = −2.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) \[\frac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a - \sqrt b }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}} \right)\,.\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]

\[ = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]

= a – b.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) \[\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]

\( = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)\)

= 1 – a.

Vậy đẳng thức được chứng minh.