Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + ca + bc = 6abc. Chứng minh rằng: 1a2+1b2+1c2≥3.

Từ a + b + c + ab + ca + bc = 6abc ta có: 1a+1b+1c+1ab+1bc+1ca=6 Ta có: 1a2+1≥2a;1b2+1≥2b;1c2+1≥2c Và 1a2+1b2≥2ab;1b2+1c2≥2bc;1a2+1c2≥2ac Cộng các vế các BĐT trên ta có: 31a2+1b2+1c2+1≥21a+1b+1c+1ab+1bc+1ca⇔31a2+1b2+1c2+1≥12⇔1a2+1b2+1c2+1≥4⇔1a2+1b2+1c2≥3 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Câu hỏi:

26/07/2023 1,100

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + ca + bc = 6abc.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ a + b + c + ab + ca + bc = 6abc ta có: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 6$

Ta có: $\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a}; \frac{1}{b^{2}} + 1 \geq \frac{2}{b}; \frac{1}{c^{2}} + 1 \geq \frac{2}{c}$

Và $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}; \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{2}{b c}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{2}{a c}$

Cộng các vế các BĐT trên ta có:

$\begin{array}{l} 3 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + 1) \geq 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) \\ \Leftrightarrow 3 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + 1) \geq 12 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + 1 \geq 4 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3 \end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Bình luận

Câu 1:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M B} = \vec{M C}$

B. $\vec{A M} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\vec{A M}$ = a

D. $|\vec{A M}| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 26/07/2023 17,672

Câu 2:

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0;

B. a < 0, d > 0;

C. a > 0, d < 0;

D. a < 0, d < 0.

Xem đáp án » 26/07/2023 13,845

Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

A. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

B. $S = \{- \frac{π}{12} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{- \frac{π}{12} + k 2 π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án » 26/07/2023 13,597

Câu 4:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

A. C(5; -4);

B. C(5; 4);

C. C(-5; 4);

D. C(-5; -4).

Xem đáp án » 26/07/2023 10,371

Câu 5:

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,559

Câu 6:

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 8,590

Câu 7:

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

A. Vô nghiệm;

B. Có một nghiệm âm;

C. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương;

D. Có hai nghiệm dương.

Xem đáp án » 26/07/2023 8,419

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + ca + bc = 6abc.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + ca + bc = 6abc. Chứng minh rằng: 1a2+1b2+1c2≥3.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax3 + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G 13;0 là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mx+2y=m+12x+my=2m−1

Phương trình logx2+log2x=52

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + ca + bc = 6abc.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ .

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$