Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \[{{\rm{d}}_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\] và d₂: x – 2y + m = 0 đến gốc toạ độ bằng 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{{\rm{d}}_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\]

Suy ra y = 2 – x

Hay x + y – 2 = 0

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - 2y + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\3y - 2 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \frac{{2 + m}}{3}\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{4 - m}}{3}\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{{4 - m}}{3};\frac{{2 + m}}{3}} \right)\)

Ta có OM = 2

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{4 - m}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2 + m}}{3}} \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow 16 - 8m + {m^2} + {m^2} + 4m + 4 = 36\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\)

Vậy ta chọn đáp án D.