Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, \({u_3} = \frac{{27}}{4}\).

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Lời giải

a) Ta có u₃ = u₁.q²

Xét \({q^2} = \frac{{{u_3}}}{{{u_1}}} = \frac{{\frac{{27}}{4}}}{3} = \frac{9}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - \frac{3}{2}\\q = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

+) Với \(q = - \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^3} = - \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

 +) Với \(q = \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = - \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} \approx - 68\).

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{3}{2}} \right)}} \approx 340\).