Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA = 2MS, NS = 2NC.

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\).

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\).

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3},\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3},\frac{{BP}}{{BC}} = \frac{3}{4}\).

a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.