Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a2b + b2c + c2a ≥ ( frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}} ).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : a2b + b2c + c2a ≥ ( frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}} ) ⇔ 2(a2b + b2c + c2a) + ( frac{1}{{a{b^2}}} + frac{1}{{b{c^2}}} + frac{1}{{c{a^2}}} ge 9 ) Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có: a2b + a2b + [ frac{1}{{a{b^2}}} ge 3 sqrt {{a^2}b.{a^2}b. frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a ] Tương tự: b2c + b2c + [ frac{1}{{b{c^2}}} ge 3 sqrt {{b^2}c.{b^2}c. frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b ] c2a + c2a + [ frac{1}{{c{a^2}}} ge 3 sqrt {{c^2}a.{c^2}a. frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c ] Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được: 2(a2b + b2c + c2a) + ( frac{1}{{a{b^2}}} + frac{1}{{b{c^2}}} + frac{1}{{c{a^2}}} ge 3 left( {a + b + c} right) = 3.3 = 9 ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy a2b + b2c + c2a ≥ ( frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}} ).

Câu hỏi:

09/08/2023 211

Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

⇔ 2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có:

a²b + a²b + \[\frac{1}{{a{b^2}}} \ge 3\sqrt {{a^2}b.{a^2}b.\frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a\]

Tương tự: b²c + b²c + \[\frac{1}{{b{c^2}}} \ge 3\sqrt {{b^2}c.{b^2}c.\frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b\]

c²a + c²a + \[\frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\sqrt {{c^2}a.{c^2}a.\frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c\]

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được:

2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một kì thi có 60% thí sinh thi đỗ. Hai bạn A và B cùng dự thi đó. Xác suất để chỉ có 1 bạn thi đỗ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố: “bạn A thi đỗ”, B là biến cố: “bạn B thi đỗ”, C là biến cố: “chỉ có một bạn thi đỗ”.

* Trường hợp 1: A thi đỗ, B thi không đỗ.

\(P\left( {A.\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)\)= 0,6 . 0,4 = 0,24.

* Trường hợp 2: A thi không đỗ, B thi đỗ.

\(P\left( {\overline A .B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\) = 0,4 . 0,6 = 0,24.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

P(C) = \(P\left( {A.\overline B } \right) + P\left( {\overline A .B} \right)\)= 0,24 + 0,24 = 0,48.

Câu 2

Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB,

y (giờ) là thời gian dự định đi đến B lúc đầu. (x > 0, y > 1)

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là:

\(\frac{x}{{35}}\) = y + 2 ⇒ x = 35.(y + 2) (1)

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là: \(\frac{x}{{50}}\) = y − 1 ⇒ x = 50.(y − 1) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

35.(y + 2) = 50.(y − 1)

⇒ 35y + 70 = 50y – 50

⇒ y = 8

⇒ x = 35.(y + 2) = 35.10 = 350 (km)

Vậy quãng đường AB là 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Câu 3