Câu hỏi:
09/08/2023 129
Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
⇔ 2(a2b + b2c + c2a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có:
a2b + a2b + \[\frac{1}{{a{b^2}}} \ge 3\sqrt {{a^2}b.{a^2}b.\frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a\]
Tương tự: b2c + b2c + \[\frac{1}{{b{c^2}}} \ge 3\sqrt {{b^2}c.{b^2}c.\frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b\]
c2a + c2a + \[\frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\sqrt {{c^2}a.{c^2}a.\frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c\]
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được:
2(a2b + b2c + c2a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong một kì thi có 60% thí sinh thi đỗ. Hai bạn A và B cùng dự thi đó. Xác suất để chỉ có 1 bạn thi đỗ?
Trong một kì thi có 60% thí sinh thi đỗ. Hai bạn A và B cùng dự thi đó. Xác suất để chỉ có 1 bạn thi đỗ?
Xem đáp án »
12/07/2024
32,189
Câu 2:
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = 4 cm, \(\widehat A\)= 60°, \(\widehat B\)= 45°. Độ dài cạnh BC là?
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = 4 cm, \(\widehat A\)= 60°, \(\widehat B\)= 45°. Độ dài cạnh BC là?
Xem đáp án »
12/07/2024
28,102
Câu 3:
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Xem đáp án »
12/07/2024
20,340
Câu 4:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, BD. (P) là mp qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại N, M. Chứng minh tứ giác IJMN là hình thang. Nếu M là trung điểm AD thì tứ giác IJMN là hình gì?
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, BD. (P) là mp qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại N, M. Chứng minh tứ giác IJMN là hình thang. Nếu M là trung điểm AD thì tứ giác IJMN là hình gì?
Xem đáp án »
12/07/2024
14,658
Câu 5:
Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486.
Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486.
Xem đáp án »
12/07/2024
12,772
Câu 6:
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD.
c) Chứng minh OC vuông góc với DE.
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD.
c) Chứng minh OC vuông góc với DE.
Xem đáp án »
12/07/2024
11,942
Câu 7:
Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất số được chọn là số chia hết cho 3.
Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất số được chọn là số chia hết cho 3.
Xem đáp án »
12/07/2024
9,597
về câu hỏi!