Câu hỏi:

12/07/2024 1,268

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.

a) Chứng minh AH = DE.

b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.

c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.

d) Chứng minh S_ABC = 2S_DEQP.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE (ảnh 1)

a) Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông (\(\widehat A,\widehat D,\widehat E\))

⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo

⇒ AH = DE (đpcm)

b) HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD // AC

⇒ \(\widehat {PHD} = \widehat {HCA}\)(đồng vị)

ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P

⇒ \(\widehat {PHD} = \widehat {PDH}\)

ADHE là hình chữ nhật ⇒ \(\widehat {ADE} = \widehat {AHE}\)

mà \(\widehat {HCA} = \widehat {AHE}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAE}\))

⇒ \(\widehat {ADE} = \widehat {HCA} = \widehat {PHD} = \widehat {PDH}\)

Ta có: \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {PDH} + \widehat {EDH} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {PDE} = 90^\circ \) ⇒ DP ⊥ DE

Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE

⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)

c) Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC

⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ // AC ⇒ OQ ⊥ AB

Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O

⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)

d) S_ABC = \(\frac{1}{2}.AH.BC = PQ.AH\left( 1 \right)\)

S_DEQP = \(\frac{1}{2}\left( {DP + EQ} \right).DE = \frac{1}{2}.\left( {DP + EQ} \right).AH = \frac{1}{2}.\left( {HP + HQ} \right).AH = \frac{1}{2}.PQ.AH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S_ABC = 2S_DEQP (đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một kì thi có 60% thí sinh thi đỗ. Hai bạn A và B cùng dự thi đó. Xác suất để chỉ có 1 bạn thi đỗ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố: “bạn A thi đỗ”, B là biến cố: “bạn B thi đỗ”, C là biến cố: “chỉ có một bạn thi đỗ”.

* Trường hợp 1: A thi đỗ, B thi không đỗ.

\(P\left( {A.\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)\)= 0,6 . 0,4 = 0,24.

* Trường hợp 2: A thi không đỗ, B thi đỗ.

\(P\left( {\overline A .B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\) = 0,4 . 0,6 = 0,24.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

P(C) = \(P\left( {A.\overline B } \right) + P\left( {\overline A .B} \right)\)= 0,24 + 0,24 = 0,48.

Câu 2

Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB,

y (giờ) là thời gian dự định đi đến B lúc đầu. (x > 0, y > 1)

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là:

\(\frac{x}{{35}}\) = y + 2 ⇒ x = 35.(y + 2) (1)

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là: \(\frac{x}{{50}}\) = y − 1 ⇒ x = 50.(y − 1) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

35.(y + 2) = 50.(y − 1)

⇒ 35y + 70 = 50y – 50

⇒ y = 8

⇒ x = 35.(y + 2) = 35.10 = 350 (km)

Vậy quãng đường AB là 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Câu 3