Câu hỏi:

12/07/2024 8,526

Chứng minh \(P = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{3^{100}}}} < \frac{3}{4}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

\(P = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

\(\frac{1}{3}P = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{2}{{{3^3}}} + \frac{3}{{{3^4}}} + ... + \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(P - \frac{1}{3}P = \frac{1}{{{3^1}}} + \left( {\frac{2}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{3}{{{3^3}}} - \frac{2}{{{3^3}}}} \right) + + ... + \left( {\frac{{100}}{{{3^{100}}}} - \frac{{99}}{{{3^{100}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(\frac{2}{3}P = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}} - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\) (*)

Đặt \(S = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

(*) trở thành: \(\frac{2}{3}P = S - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)(1)

Xét \(S = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

\(\frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

\(S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

\(S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

\(\frac{2}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

\(S = \frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right)\)(2)

Thay (2) vào (1) ta có:

\(\frac{2}{3}P = \frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(P = \frac{9}{4}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}} = \frac{3}{4} - \frac{9}{{{{4.3}^{101}}}} - \frac{{100}}{{{3^{101}}}} < \frac{3}{4}\)

Vậy P < \(\frac{3}{4}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi A là biến cố: “bạn A thi đỗ”, B là biến cố: “bạn B thi đỗ”, C là biến cố: “chỉ có một bạn thi đỗ”.

* Trường hợp 1: A thi đỗ, B thi không đỗ.

\(P\left( {A.\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)\)= 0,6 . 0,4 = 0,24.

 * Trường hợp 2: A thi không đỗ, B thi đỗ.

\(P\left( {\overline A .B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\) = 0,4 . 0,6 = 0,24.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

P(C) = \(P\left( {A.\overline B } \right) + P\left( {\overline A .B} \right)\)= 0,24 + 0,24 = 0,48.

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB,

y (giờ) là thời gian dự định đi đến B lúc đầu. (x > 0, y > 1)

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là:

\(\frac{x}{{35}}\) = y + 2 x = 35.(y + 2) (1)

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là: \(\frac{x}{{50}}\) = y − 1 x = 50.(y − 1) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

35.(y + 2) = 50.(y − 1)

35y + 70 = 50y – 50

y = 8

x = 35.(y + 2) = 35.10 = 350 (km)

Vậy quãng đường AB là 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP