Câu hỏi:
18/08/2023 14,781
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC.
3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC.
3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Ta có: \(\widehat {BHE} = \widehat {BKE} = 90^\circ \)(vì EH vuông góc AB, EK vuông góc BC)
Xét tứ giác BHEK có: \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Nên BHEK là tứ giác nội tiếp
2) Ta có: \(\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác BHE vuông tại H)
\(\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác ABE vuông tại E)
Nên: \(\widehat {BHE} = \widehat {BAE}\)
Mà \(\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\)
Suy ra: \(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)
Xét tam giác BHK và tam giác BCA có:
\(\widehat B\)chung
\(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)
⇒ ∆BHK ∽ ∆BCA (g.g)
⇒ \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\)
⇒ BH.BA = BK.BC
3) Gọi I’ là giao điểm của HK và EF
Xét tứ giác BFEC có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)
Nên BFEC là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Ta có: EH // CF (cùng vuông góc AB)
Nên: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc so le trong)
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\] (1)
Theo câu a tứ giác BHEK nội tiếp nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_1}}\]
Suy ra: I'HE cân tại I' hay I'H = I'E (3)
Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \]
\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ \] (do tam giác HEF vuông tại H)
Nên: \[\widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\]hay tam giác I'HF cân tại I'
Suy ra: I'H = I'F (4)
Từ (3) và (4) suy ra: I'E = I'F hay I' là trung điểm EF
Suy ra: I' ≡ I nên I, H, K thẳng hàng.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
AB = BE(gt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))
Cạnh BD chung
Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).
b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)
Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)
Do đó: DE ⊥ BC.
c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.
Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:
AB = BE (gt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))
Cạnh BI chung
Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).
⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)
Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)
Hay BI ⊥ AE
Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.
Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Theo câu b) ta có AD = DE
Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:
AD = DE(cmt)
\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)
AF = CE(gt)
Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)
⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)
Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.
Lời giải
Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.
Ví dụ: 32 – 22 = 9 – 4 = 5
32 – 22 ≠ (3 – 2)2 = 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận