Câu hỏi:
18/08/2023 1,647
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC.
3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC.
3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Ta có: \(\widehat {BHE} = \widehat {BKE} = 90^\circ \)(vì EH vuông góc AB, EK vuông góc BC)
Xét tứ giác BHEK có: \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Nên BHEK là tứ giác nội tiếp
2) Ta có: \(\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác BHE vuông tại H)
\(\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác ABE vuông tại E)
Nên: \(\widehat {BHE} = \widehat {BAE}\)
Mà \(\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\)
Suy ra: \(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)
Xét tam giác BHK và tam giác BCA có:
\(\widehat B\)chung
\(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)
⇒ ∆BHK ∽ ∆BCA (g.g)
⇒ \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\)
⇒ BH.BA = BK.BC
3) Gọi I’ là giao điểm của HK và EF
Xét tứ giác BFEC có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)
Nên BFEC là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Ta có: EH // CF (cùng vuông góc AB)
Nên: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc so le trong)
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\] (1)
Theo câu a tứ giác BHEK nội tiếp nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_1}}\]
Suy ra: I'HE cân tại I' hay I'H = I'E (3)
Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \]
\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ \] (do tam giác HEF vuông tại H)
Nên: \[\widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\]hay tam giác I'HF cân tại I'
Suy ra: I'H = I'F (4)
Từ (3) và (4) suy ra: I'E = I'F hay I' là trung điểm EF
Suy ra: I' ≡ I nên I, H, K thẳng hàng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.
c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.
Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.
c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.
Xem đáp án »
18/08/2023
23,787
Câu 4:
Một cửa hàng nhập về 50 chiếc túi xách với giá góc 150 000 đồng/cái. Cửa hàng đã bán 30 chiếc với giá mỗi chiếc lãi 30% so với giá gốc, 20 chiếc còn lại bán lỗ 5% so với giá gốc. Hỏi sau khi bán hết 50 chiếc túi xách cửa hàng đó lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?
Một cửa hàng nhập về 50 chiếc túi xách với giá góc 150 000 đồng/cái. Cửa hàng đã bán 30 chiếc với giá mỗi chiếc lãi 30% so với giá gốc, 20 chiếc còn lại bán lỗ 5% so với giá gốc. Hỏi sau khi bán hết 50 chiếc túi xách cửa hàng đó lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?
Xem đáp án »
18/08/2023
7,803
Câu 5:
Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
Xem đáp án »
18/08/2023
7,687
Câu 6:
Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6h làm 1 cái bàn, 3h làm 1 cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp 3 lần số bàn. Một cái bàn chiếm chỗ bằng 3 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần. Hỏi người thợ mộc phải sản xuất như nào để có tiền lãi thu về là lớn nhất.
Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6h làm 1 cái bàn, 3h làm 1 cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp 3 lần số bàn. Một cái bàn chiếm chỗ bằng 3 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần. Hỏi người thợ mộc phải sản xuất như nào để có tiền lãi thu về là lớn nhất.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,611
Câu 7:
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác góc A?
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác góc A?
Xem đáp án »
18/08/2023
6,589
về câu hỏi!