Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

AB = BE(gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BD chung

Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).

b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)

Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)

Do đó: DE ⊥ BC.

c)  Gọi  I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:

AB = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BI chung

Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).

⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)

Hay BI ⊥ AE

Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Theo câu b) ta có AD = DE

Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:

AD = DE(cmt)

\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

AF = CE(gt)

Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)

⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)

Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.

1) Ta có: \(\widehat {BHE} = \widehat {BKE} = 90^\circ \)(vì EH vuông góc AB, EK vuông góc BC)

Xét tứ giác BHEK có: \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Nên BHEK là tứ giác nội tiếp

2) Ta có: \(\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác BHE vuông tại H)

\(\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác ABE vuông tại E)

Nên: \(\widehat {BHE} = \widehat {BAE}\)

Mà \(\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\)

Suy ra: \(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)

Xét tam giác BHK và tam giác BCA có:

\(\widehat B\)chung

\(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)

⇒ ∆BHK ∽ ∆BCA (g.g)

⇒ \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\)

⇒ BH.BA = BK.BC

3) Gọi I’ là giao điểm của HK và EF

Xét tứ giác BFEC có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)

Nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: EH // CF (cùng vuông góc AB)

Nên: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc so le trong)

Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\] (1)

Theo câu a tứ giác BHEK nội tiếp nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_1}}\]

Suy ra: I'HE cân tại I' hay I'H = I'E (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ \] (do tam giác HEF vuông tại H)

Nên: \[\widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\]hay tam giác I'HF cân tại I'

Suy ra: I'H = I'F (4)

Từ (3) và (4) suy ra: I'E = I'F hay I' là trung điểm EF

Suy ra: I' ≡ I nên I, H, K thẳng hàng.