Câu hỏi:
13/07/2024 4,226
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương I có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Cách 1:
\(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)
\[ = \left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos x + \cos \frac{\pi }{4}\sin x} \right) - \left( {\cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x} \right)\]
\( = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) = 0\,\,\,\forall x\).
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Cách 2:
\(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)
\( = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\)
\( = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 0\,\,\,\forall x\).
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\)
\( = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right]\)
\( = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\,\,\forall x\).
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \frac{\pi }{3} - x} \right)} \right]\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \left( { - 2x} \right)} \right)\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2} + \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)} \right]\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 2{{\sin }^2}x} \right)\)
\( = {\sin ^2}x + \frac{1}{4} - {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\,\,\,\forall x\).
Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)
\( = \frac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\cos x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + 2\sin x\cos x}}.\cot x\)
\( = \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\)
\( = \frac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}.\cot x\)
\( = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\,\,\,\forall x\).
Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Xem đáp án »
13/07/2024
26,412
Câu 2:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
22,651
Câu 3:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,307
Câu 4:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Xem đáp án »
13/07/2024
10,670
Câu 5:
Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,447
Câu 6:
Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,509
Câu 7:
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,369
về câu hỏi!