Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Lời giải:

+) Ta có: 2x – 4 = 0, suy ra x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x – 4 = 0 là S₁ = {2}.

+) Ta có: (x – 2)(x² + 1) = 0

Vì x² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (x – 2)(x² + 1) = 0 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 là S₂ = {2}.

+) Nhận thấy S₁ = S₂ = {2}. Vậy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.

Lời giải:

+) Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\), điều kiện x ≠ – 1.

Khi đó, \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) là S₁ = {1}.

+) Phương trình x² – 1 = 0 được viết lại thành (x – 1)(x + 1) = 0, từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = – 1, do đó tập nghiệm của phương trình x² – 1 = 0 là S₂ = {– 1; 1}.

+) Nhận thấy S₁ ≠ S₂, vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

Lời giải:

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc \(\frac{\pi }{6}\) và \(\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}\), lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng \(\frac{1}{2}\) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có \(\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\), \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải:

a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

b) sin 3x = – sin 5x

⇔ sin 3x = sin (– 5x)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 5x + k2\pi \\3x = \pi - \left( { - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 5x + k2\pi \\3x = \pi + 5x + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = k2\pi \\ - 2x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải:

a) Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc \(\frac{{2\pi }}{3}\) và \( - \frac{{2\pi }}{3}\), lại có hoành độ của điểm M và M' đều bằng \( - \frac{1}{2}\) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có \(\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}\) và \(\cos \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\).

Vậy trong nửa khoảng [– π; π), phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) có hai nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3}\), \[x = - \frac{{2\pi }}{3}\].