Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn ).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải:

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) hay \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \).

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó \(\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}x + \tan \alpha } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha .\tan \alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\,500\,000\cos \alpha .\sin \alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{1\,250\,000\sin 2\alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(x = \frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}}\) (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó \(\frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}} = 22\,000\)⇔ sin 2α = \(\frac{{539}}{{625}}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha \approx 29^\circ 47'36''\\\alpha \approx 60^\circ 12'23''\end{array} \right.\,\,\].

c) Hàm số \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\tan \alpha }}{{2.\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\\{y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{\left( {\frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}} \right)^2} + \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\tan \alpha \end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\\{y_I} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\).

Ta có \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}} \le \frac{{625\,000}}{{49}}\), dấu “=” xảy ra khi sin² α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.