a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) đã cho là \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{1} = - 1\); \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} = \frac{1}{2}\); \({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} = - \frac{1}{3}\); \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{4} = \frac{1}{4}\); \({u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{5} = - \frac{1}{5}\).

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

Media VietJack

b) Khoảng cách từ u_n đến 0 là \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| = \frac{{{1^n}}}{n} = \frac{1}{n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{1}{n} < 0,01\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow n > 100\).

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Câu 2

Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\).

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}} \right| = \frac{1}{{{3^n}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\).

Câu 3

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Ta có: v_n = u_n – 1 = \(\frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \left( {1 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right) - 1 = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\).

Câu 4

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Ta có: \({u_n} - 3 = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{\left( {{{3.2}^n} - 1} \right) - {{3.2}^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi n ⟶ +∞.

Do vây, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).

Câu 5

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = \(\frac{2}{3} \cdot 5\).

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_2} = \frac{2}{3}{u_1} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{2}{3} \cdot 5} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\).

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3} \cdot \left( {5 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}\) và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là \({u_n} = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\), suy ra điều phải chứng minh.

Câu 6