Cho dãy số (u_n­) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).

Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t₁, t₂, ..., t_n, ... tương ứng để Achilles đi từ A₁ đến A₂, từ A₂ đến A₃, ... từ A_n đến A_{n + 1}, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).

Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...