$\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} : x^{\frac{5}{8}}$

$= \sqrt{x \cdot {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} : x^{\frac{5}{8}}$

$= {(x^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$ .

Câu 3/21

Cho hai số thực dương a, b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. log_a(a³b²) = 3 + log_ab.

B. log_a(a³b²) = 3 + 2log_ab.

C. log_a(a³b²) =

\frac{3}{2}

log_ab.

D. log_a(a³b²) =

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \log_{a} b

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có log_a(a³b²) = log_aa³ + log_ab² = 3 + 2log_ab.

Câu 4/21

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với a, b ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. log_a(xy) = log_ax + log_ay.

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

\log_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_{a} x}

D. log_ab ∙ log_bx = log_ax.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất của lôgarit, ta thấy các công thức ở các đáp án A, B, D đúng.

Với đáp án C, ta có $\log_{a} \frac{1}{x} = \log_{a} x^{- 1} = - \log_{a} x$ .

Câu 5/21

Đặt log₂5 = a, log₃5 = b. Khi đó, log₆5 tính theo a và b bằng

\frac{a b}{a + b}

\frac{1}{a + b}

C. a² + b².

D. a + b.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có log₆5 = $\frac{1}{\log_{5} 6} = \frac{1}{\log_{5} (2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_{5} 2 + \log_{5} 3}$

= \frac{1}{\frac{1}{\log_{2} 5} + \frac{1}{\log_{3} 5}} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{b + a}{a b}} = \frac{a b}{a + b}

Câu 6/21

Cho hàm số y = 2^x. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là ℝ.

B. Tập giá trị của hàm số là (0; + ∞).

C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có hàm số y = 2^x:

+ Có tập xác định là ℝ.

+ Có tập giá trị của hàm số là (0; + ∞).

+ Đồng biến trên ℝ (do 2 > 1).

+ Đồ thị của hàm số luôn nằm phía trên trục Ox.

Do vậy đáp án C sai.

Câu 7/21

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = log_0,5x.

B. y = e^{– x}.

y = {(\frac{1}{3})}^{x}

D. y = ln x.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

+ Hàm số y = log_0,5x có tập xác định là (0; + ∞) và nghịch biến trên (0; + ∞) (do 0 < 0,5 < 1).

+ Hàm số y = e^{– x} = ${(\frac{1}{e})}^{x}$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0 < \frac{1}{e} < 1$ .

+ Hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0 < \frac{1}{3} < 1$ .

+ Hàm số y = ln x có tập xác định là (0; + ∞) và đồng biến trên (0; + ∞) do e > 1.

Câu 8/21

Cho đồ thị ba hàm số y = log_ax, y = log_bx và y = log_cx như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a > b > c.

B. b > a > c.

C. a > c > b.

D. b > c > a.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Hàm số y = log_ax và y = log_bx đồng biến trên (0; + ∞) nên a, b > 1.

+ Hàm số y = log_cx nghịch biến trên (0; + ∞) nên c < 1.

+ Với x > 1, ta có log_ax > log_bx $\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{a} x} < \frac{1}{\log_{b} x}$ ⇔ log_xa < log_xb ⇔ a < b.

Vậy c < a < b hay b > a > c.

Câu 9/21