Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

39 người thi tuần này 4.6 889 lượt thi 41 câu hỏi

Câu 1

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

$h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ,

trong đó, v₀ là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình chuyển động của vật là $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t_{1} = \frac{v_{0}}{g}$ , tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v₀ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

$v_{0} t_{2} - \frac{1}{2} g t_{2}^{2} = 0$ ⇔ t₂ = 0 (Loại) hoặc $t_{2} = \frac{2 v_{0}}{g}$ .

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Câu 2

Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*).

Xem đáp án

Lời giải

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - {x_{0}}^{3}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2}) = 3 {x_{0}}^{2}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*) là y' = nx^{n – 1}.

Câu 3

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm x > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt f(x) = $y = \sqrt{x}$ .

Với x₀ > 0, ta có

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}) (\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Câu 4

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt f(x) = y = x³ + x².

Với x₀ bất kì, ta có:

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} + x^{2} - {x_{0}}^{3} - {x_{0}}^{2}}{x - x_{0}}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x^{3} - {x_{0}}^{3}) + (x^{2} - {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}} \\ = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2} + x + x_{0})}{x - x_{0}} \end{array}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2} + x + x_{0}) = 3 {x_{0}}^{2} + 2 x_{0}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).

Câu 5

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ ;

Xem đáp án

Lời giải

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có: $y^{'} = {(\frac{\sqrt{x}}{x + 1})}^{'} = \frac{{(\sqrt{x})}^{'} . (x + 1) - \sqrt{x} . (x + 1)^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1) - \sqrt{x} .1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1) - \frac{2 x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{x + 1 - 2 x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{\frac{1 - x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1 - x}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$ .

Câu 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử