Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

$h=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$,

trong đó, v₀ là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$   tại điểm x > 0.

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x^2+2\right)$ .

Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x – 3)¹⁰;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = $\sqrt{1-x^2}$  .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$  và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$  .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$  , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$ .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$  với $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Tính đạo hàm của hàm số  $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$.

Một vật chuyển động có phương trình s(t) = $4\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$  (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$, tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ .

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$  .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{h}=1$  và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=e^{x^2-x}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = 3^{sin x} .

b) Sử dụng đẳng thức  ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$(0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1).

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H⁺], ở đó [H⁺] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H⁺].

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2x + 1;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = x² – 4  + 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$  .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin²x;

b) y = cos²x + sin2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = $2^{3x-x^2}$ ;

b) y = log₃(4x + 1).

Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?