Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

88 người thi tuần này 4.6 852 lượt thi 41 câu hỏi

Câu 1

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

$h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ,

trong đó, v₀ là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình chuyển động của vật là $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t_{1} = \frac{v_{0}}{g}$ , tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v₀ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

$v_{0} t_{2} - \frac{1}{2} g t_{2}^{2} = 0$ ⇔ t₂ = 0 (Loại) hoặc $t_{2} = \frac{2 v_{0}}{g}$ .

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Câu 2

Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*).

Xem đáp án

Lời giải

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - {x_{0}}^{3}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2}) = 3 {x_{0}}^{2}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*) là y' = nx^{n – 1}.

Câu 3

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm x > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt f(x) = $y = \sqrt{x}$ .

Với x₀ > 0, ta có

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}) (\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Câu 4

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt f(x) = y = x³ + x².

Với x₀ bất kì, ta có:

$y' = f' (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} + x^{2} - {x_{0}}^{3} - {x_{0}}^{2}}{x - x_{0}}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x^{3} - {x_{0}}^{3}) + (x^{2} - {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}} \\ = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2} + x + x_{0})}{x - x_{0}} \end{array}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x^{2} + x x_{0} + {x_{0}}^{2} + x + x_{0}) = 3 {x_{0}}^{2} + 2 x_{0}$ .

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).

Câu 5

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ ;

Xem đáp án

Lời giải

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có: $y^{'} = {(\frac{\sqrt{x}}{x + 1})}^{'} = \frac{{(\sqrt{x})}^{'} . (x + 1) - \sqrt{x} . (x + 1)^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1) - \sqrt{x} .1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1) - \frac{2 x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{x + 1 - 2 x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{\frac{1 - x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1 - x}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$ .

Câu 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

🔥 Đề thi HOT:

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)

Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)

Bài tập Lượng giác lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

10 Bài tập Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác (có lời giải)

100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản (P1)

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Nội dung liên quan:

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 33. Đạo hàm cấp hai có đáp án

Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 33: Đạo hàm cấp 2 có đáp án

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối Chương IX hai có đáp án

Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương IX có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xn. a) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x bất kì. b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y=x tại điểm x > 0.

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 tại điểm x bất kì. b) So sánh: (x3 + x2)' và (x3)' + (x2)'.

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=xx+1 ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y=x+1x2+2 .

Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp Cho các hàm số y = u2 và u = x2 + 1. a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x – 3)10;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y = 1−x2 .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn limh→0sin hh=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số y=sinπ3−3x .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x Bằng cách viết y = cosx = sinπ2−x , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Tính đạo hàm của hàm số y=2cosπ4−2x .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x a) Bằng cách viết y=tanx=sinxcosx x≠π2+kπ,k∈ℤ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x a) Bằng cách viết y=tanx=sinxcosx x≠π2+kπ,k∈ℤ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức cotx=tanπ2−x với x≠kπ k∈ℤ , tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Tính đạo hàm của hàm số y=2tan2x+3cotπ3−2x.

Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos2πt−π8 (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit a) Sử dụng phép đổi biến t = 1x, tìm giới hạn limx→01+x1x .

b) Với y=1+x1x , tính ln y và tìm giới hạn của limx→0lny

c) Đặt t = ex – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn limx→0ex−1x .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ a) Sử dụng giới hạn limh→0ex−1h=1 và đẳng thức ex + h – ex = ex(eh – 1), tính đạo hàm của hàm số y = ex tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức ax = exlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = ax.

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=ex2−x ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y = 3sin x .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit a) Sử dụng giới hạn limt→0ln1+tt=1 và đẳng thức ln(x + h) – lnx = lnx+hx=ln1+hx , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức logax=lnxlna(0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.

Tính đạo hàm của hàm số y = log2(2x – 1).

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 + 2x + 1;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y = x2 – 4 + 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=2x−1x+2 ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y=2xx2+1 .

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = xsin2x; b) y = cos2x + sin2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau: c) y = sin3x – 3sinx; d) y = tanx + cotx.

Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = 23x−x2 ; b) y = log3(4x + 1).

Cho hàm số f(x) = 2sin23x−π4 . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t2, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật: a) Tại thời điểm t = 5 giây; b) Khi vật chạm đất.

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*).

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm x > 0.

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x – 3)¹⁰;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (\frac{π}{3} - 3 x)$ .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = $\sin (\frac{π}{2} - x)$ , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 c o s (\frac{π}{4} - 2 x)$ .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x = \tan (\frac{π}{2} - x)$ với $x \neq k π (k \in ℤ)$ , tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \tan^{2} x + 3 \cot (\frac{π}{3} - 2 x)$ .

Một vật chuyển động có phương trình s(t) = $4 \cos (2 π t - \frac{π}{8})$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ , tính ln y và tìm giới hạn của $\lim_{x \to 0} \ln y$

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$ .

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{e^{x} - 1}{h} = 1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2} - x}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = 3^{sin x} .

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1).

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H⁺], ở đó [H⁺] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H⁺].

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2x + 1;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = x² – 4 + 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin²x;

b) y = cos²x + sin2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = $2^{3 x - x^{2}}$ ;

b) y = log₃(4x + 1).

Cho hàm số f(x) = $2 \sin^{2} (3 x - \frac{π}{4})$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.