$y^{''} = {[\frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}]}^{'}$ $= - 3 {[\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}^{'}$ $= - 3 \cdot \frac{- 2}{{(x - 1)}^{3}}$ $= \frac{6}{{(x - 1)}^{3}}$

Vậy $y^{''} = \frac{6}{{(x - 1)}^{3}}$

Câu 2/5

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln|2x – 1|;

b) $y = \tan (x + \frac{π}{3})$

Xem đáp án

Lời giải

a) y' = (ln|2x – 1|)' = $\frac{{(2 x - 1)}^{'}}{2 x - 1}$ $= \frac{2}{2 x - 1}$

$y^{''} = {(\frac{2}{2 x - 1})}^{'}$ $= 2 \cdot \frac{- 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$ $= \frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Vậy $y^{''} = \frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

b) $y^{'} = {[\tan (x + \frac{π}{3})]}^{'}$ $= \frac{{(x + \frac{π}{3})}^{'}}{c o s^{2} (x + \frac{π}{3})}$ $= \frac{1}{c o s^{2} (x + \frac{π}{3})}$ $1 + \tan^{2} (x + \frac{π}{3})$

$y^{''} = {[1 + \tan^{2} (x + \frac{π}{3})]}^{'}$ $= 2 \tan (x + \frac{π}{3}) \cdot {[\tan (x + \frac{π}{3})]}^{'}$

$= 2 \tan (x + \frac{π}{3}) \cdot \frac{{(x + \frac{π}{3})}^{'}}{c o s^{2} (x + \frac{π}{3})}$ $= 2 \tan (x + \frac{π}{3}) \cdot \frac{1}{c o s^{2} (x + \frac{π}{3})}$

$= 2 \tan (x + \frac{π}{3}) \cdot (1 + \tan^{2} (x + \frac{π}{3}))$ $= 2 \tan (x + \frac{π}{3}) + 2 \tan^{3} (x + \frac{π}{3})$

Vậy $y^{''} = 2 \tan (x + \frac{π}{3}) + 2 \tan^{3} (x + \frac{π}{3})$

Câu 3/5

Cho hàm số $f (x) = x e^{x^{2}} + \ln (x + 1)$ . Tính f'(0) và f"(0).

Xem đáp án

Lời giải

Có $f^{'} (x) = {(x e^{x^{2}} + \ln (x + 1))}^{'}$ $= {(x e^{x^{2}})}^{'} + {(\ln (x + 1))}^{'}$

= e^{x^{2}} + x e^{x^{2}} \cdot {(x^{2})}^{'} + \frac{1}{x + 1}

$= e^{x^{2}} + 2 x^{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

$f^{''} (x) = {(e^{x^{2}} + 2 x^{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{x + 1})}^{'}$ $= {(e^{x^{2}})}^{'} + {(2 x^{2} e^{x^{2}})}^{'} + {(\frac{1}{x + 1})}^{'}$

$= 2 x e^{x^{2}} + 4 x e^{x^{2}} + 4 x^{3} e^{x^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ $= 6 x e^{x^{2}} + 4 x^{3} e^{x^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Khi đó $f^{'} (0) = e^{0^{2}} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \frac{1}{0 + 1} = 2$

$f^{''} (0) = 6 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 4 \cdot 0^{3} e^{0^{2}} - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}} = - 1$

Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.

Câu 4/5

Cho f(x) = (x² + a)² + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f"(1) = 8, tìm a và b.

Xem đáp án

Lời giải

Vì f(0) = 2 nên (0² + a)² + b = 2 Û a² + b = 2. (1)

Có f'(x) = 2(x² + a)×(x² + a)' = 4x×(x² + a); f"(x) = 4×(x² + a) + 8x².

Mà f"(1) = 8 nên 4×(1² + a) + 8×1² = 8 Û a + 1 = 0 Û a = −1.

Thay a = −1 vào (1), ta được (−1)² + b = 2 Û b = 1.

Vậy a = −1; b = 1.

Câu 5/5

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức $s (t) = 15 + \sqrt{2} \sin (4 π t + \frac{π}{6})$ , trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Có $s^{'} (t) = {[15 + \sqrt{2} \sin (4 π t + \frac{π}{6})]}^{'}$ $= \sqrt{2} \cos (4 π t + \frac{π}{6}) \cdot {(4 π t + \frac{π}{6})}^{'}$

$= 4 π \sqrt{2} \cos (4 π t + \frac{π}{6})$

$s^{''} (t) = {[4 π \sqrt{2} \cos (4 π t + \frac{π}{6})]}^{'}$ $= - 4 π \sqrt{2} \sin (4 π t + \frac{π}{6}) \cdot {(4 π t + \frac{π}{6})}^{'}$

$= - 16 π^{2} \sqrt{2} \sin (4 π t + \frac{π}{6})$

Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là

a(3) = $s^{''} (3) = - 16 π^{2} \sqrt{2} \sin (12 π + \frac{π}{6})$ $= - 8 π^{2} \sqrt{2} \approx - 111, 7$ m/s².

Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây khoảng – 111,7 m/s².

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + 1$ ;

b) $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln|2x – 1|;

b) $y = \tan (x + \frac{π}{3})$

Cho hàm số $f (x) = x e^{x^{2}} + \ln (x + 1)$ . Tính f'(0) và f"(0).

Cho f(x) = (x² + a)² + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f"(1) = 8, tìm a và b.