Cho f(x) = (x² + a)² + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f"(1) = 8, tìm a và b.

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x{e}^{x^2}+\ln \left(x+1\right)\right)}^{\text{'}}$$={\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\ln \left(x+1\right)\right)}^{\text{'}}$

$=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$={\left(e^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(2x^2{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=2x{e}^{x^2}+4x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$$=6x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)=e^{0^2}+2\cdot 0\cdot e^{0^2}+\frac{1}{0+1}=2$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=6\cdot 0\cdot e^{0^2}+4\cdot 0^3{e}^{0^2}-\frac{1}{{\left(0+1\right)}^2}=-1$

Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.

Có $s^{\text{'}}\left(t\right)={\left[15+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right]}^{\text{'}}$$=\sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}$

$=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$

$s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)={\left[4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right]}^{\text{'}}$$=-4\pi \sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}$

$=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$

Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là

a(3) =  $s^{\text{'}\text{'}}\left(3\right)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(12\pi +\frac{\pi }{6}\right)$ $=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7$m/s².

Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây khoảng – 111,7 m/s².