Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức $s\left(t\right)=15+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x{e}^{x^2}+\ln \left(x+1\right)\right)}^{\text{'}}$$={\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\ln \left(x+1\right)\right)}^{\text{'}}$

$=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$={\left(e^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(2x^2{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=2x{e}^{x^2}+4x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$$=6x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)=e^{0^2}+2\cdot 0\cdot e^{0^2}+\frac{1}{0+1}=2$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=6\cdot 0\cdot e^{0^2}+4\cdot 0^3{e}^{0^2}-\frac{1}{{\left(0+1\right)}^2}=-1$

Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.

a) y' = (ln|2x – 1|)' = $\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}}{2x-1}$$=\frac{2}{2x-1}$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(\frac{2}{2x-1}\right)}^{\text{'}}$$=2\cdot \frac{-2}{{\left(2x-1\right)}^2}$$=\frac{-4}{{\left(2x-1\right)}^2}$

Vậy $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-4}{{\left(2x-1\right)}^2}$

b) $y^{\text{'}}={\left[\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$$=\frac{1}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$$1+{\tan }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left[1+{\tan }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$$=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot {\left[\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot \frac{{\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$$=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot \frac{1}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$

$=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot \left(1+{\tan }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right)$$=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+2{\tan }^3\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy $y^{\text{'}\text{'}}=2\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+2{\tan }^3\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$