Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 6. Phép vị tự có đáp án

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.

Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\).

Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.

Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung bình của tam giác OB'C'. Suy ra BC" = \(\frac{1}{2}\)B'C' và C" là trung điểm của OC'.

Mặt khác theo giả thiết ta có BC = \(\frac{1}{2}\)B'C'. Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm của OC'.

Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.

Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên

\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}\).

Lời giải:

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).

Lời giải:

a) Ta có (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25 hay (x – 1)² + (y – 2)² = 5².

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V_{(A, 2)} và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\).

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(A, 2)} nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)\\{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - 3 = - 4\\{y_{I'}} - 5 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 1\\{y_{I'}} = - 1\end{array} \right.\).

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.