Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).

b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).

Lời giải:

a) Ta có (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25 hay (x – 1)² + (y – 2)² = 5².

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V_{(A, 2)} và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\).

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(A, 2)} nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)\\{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - 3 = - 4\\{y_{I'}} - 5 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 1\\{y_{I'}} = - 1\end{array} \right.\).

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có I(2; 4) là tâm của đường tròn đường kính AB với bán kính là R = IA = \(\sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự V_{(O, 3)} nên I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, 3)} và R' = 3R = \(3\sqrt 5 \).

Khi đó ta có: \[\overrightarrow {OI'} = 3\overrightarrow {OI} \]. Từ đó suy ra I'(6; 12).

Phương trình đường tròn (C) là (x – 6)² + (y – 12)² = \({\left( {3\sqrt 5 } \right)^2}\)hay (x – 6)² + (y – 12)² = 45.