Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD. Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng NP song song với đường thẳng BD;

b) Đường thẳng NP cắt đường thẳng BD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh SC.

a) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAB) với các mặt của hình chóp.

b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SD.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB).

b) Chứng minh rằng d // AB.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).

d) Chứng minh rằng các giao tuyến tìm được ở trên đôi một song song với nhau.

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng GH, CE, DF đôi một song song.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng EF // MN, từ đó suy ra EF // AB.

b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (AEF) với các mặt của hình chóp.

c) Trong các giao tuyến tìm được ở câu b, giao tuyến nào song song với đường thẳng EF?

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.

Một chiếc thang được đặt sao cho hai đầu của chân thang dựa vào tường, hai đầu còn lại nằm trên sàn nhà (H.4.12). Biết rằng chiếc thang có dạng hình chữ nhật, hãy giải thích vì sao hai đầu của chân thang nằm trên sàn nhà lại cách đều đường chân tường.

Bạn Hà lấy một tờ giấy hình chữ nhật và gấp tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy song song với nhau (H.4.13). Hà thấy rằng dù gấp thế nào thì đường nếp gấp vẫn luôn song song với hai mép của tờ giấy. Hãy giải thích vì sao.