Câu hỏi:
12/07/2024 1,636Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n^2 = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{u_n}} \right) = 2.2 = 4\).
Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - {u_n}} \right) = 3 - 2 = 1\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \frac{4}{1} = 4\).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2 = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2{v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2.{v_n}} \right) = 2.3 = 6\).
Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 2 + 6 = 8\).
Vì un ≥ 0, vn ≥ 0 với mọi n nên un + 2vn ≥ 0 với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 8 > 0\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Câu 3:
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Câu 4:
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Câu 5:
Câu 6:
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Câu 7:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
về câu hỏi!