Câu hỏi:

12/07/2024 1,636

Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n^2 = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{u_n}} \right) = 2.2 = 4\).

Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - {u_n}} \right) = 3 - 2 = 1\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \frac{4}{1} = 4\).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2 = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2{v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2.{v_n}} \right) = 2.3 = 6\).

Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 2 + 6 = 8\).

Vì un ≥ 0, vn ≥ 0 với mọi n nên un + 2vn ≥ 0 với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 8 > 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Xem đáp án » 12/07/2024 11,273

Câu 2:

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

Media VietJack

a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.

b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 8,678

Câu 3:

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).

Xem đáp án » 12/07/2024 5,400

Câu 4:

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,028

Câu 5:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,694

Câu 6:

Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).

Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,505

Câu 7:

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Xem đáp án » 11/07/2024 2,119

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store