Câu hỏi:
12/07/2024 2,885Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)
Chia cả tử và mẫu của un cho n2, ta được \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)\( = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1 > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0\) và \(\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0\) với mọi n nên
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}} = + \infty \).
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - n} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - n} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right]\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right) = \sqrt 2 - 1 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty \).
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right] = + \infty \).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = + \infty \).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Câu 3:
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Câu 4:
Câu 5:
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Câu 6:
về câu hỏi!