Câu hỏi:
11/07/2024 1,824
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.
Câu hỏi trong đề:
Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 15. Giới hạn của dãy số có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Tam giác AA1B vuông tại A1 có AB = h và \(\widehat B = \alpha \).
Do đó, AA1 = AB sinB = h sin α.
Ta có: \(\widehat B + \widehat {BA{A_1}} = 90^\circ \) và \[\widehat {{A_1}A{A_2}} + \widehat {BA{A_1}} = 90^\circ \], suy ra \[\widehat {{A_1}A{A_2}} = \widehat B = \alpha \].
Tam giác AA1A2 vuông tại A2 nên A1A2 = AA1 sin\[\widehat {{A_1}A{A_2}}\] = h sin α . sin α = h sin2 α.
Vì AB ⊥ AC và A1A2 ⊥ AC nên AB // A1A2, suy ra \(\widehat {{A_2}{A_1}{A_3}} = \widehat B = \alpha \) (2 góc đồng vị).
Tam giác A1A2A3 vuông tại A3 nên A2A3 = A1A2 . sin\(\widehat {{A_2}{A_1}{A_3}}\) = h sin2 α . sin α = h sin3 α.
Vì AA1 ⊥ BC và A2A3 ⊥ BC nên AA1 // A2A3, suy ra \(\widehat {{A_3}{A_2}{A_4}} = \widehat {{A_1}A{A_2}} = \alpha \).
Tam giác A2A3A4 vuông tại A4 nên A3A4 = A2A3 . sin\(\widehat {{A_3}{A_2}{A_4}}\) = h sin3 α . sin α = h sin4 α.
Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được An – 1An = h sinn α.
Ta có: AA1A2A3... = AA1 + A1A2 + A2A3 + ... + An – 1An + ...
= h sin α + h sin2 α + h sin3 α + ... + h sinn α + ...
Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.
Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = h sin α và công bội q = sin α.
Do đó, AA1A2A3... = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{h\sin \alpha }}{{1 - \sin \alpha }}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Xem đáp án »
12/07/2024
11,192
Câu 2:
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
8,669
Câu 3:
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Xem đáp án »
12/07/2024
5,348
Câu 4:
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,012
Câu 5:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.
Xem đáp án »
11/07/2024
3,678
Câu 6:
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
2,498
Câu 7:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
Xem đáp án »
11/07/2024
2,102
về câu hỏi!