a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc \(\frac{\pi }{6}\) và \(\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}\), lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng \(\frac{1}{2}\) nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có \(\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\), \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

\(2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6\)

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\)

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Câu 2

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn ).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) hay \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \).

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó \(\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}x + \tan \alpha } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha .\tan \alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\,500\,000\cos \alpha .\sin \alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{1\,250\,000\sin 2\alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(x = \frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}}\) (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó \(\frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}} = 22\,000\)⇔ sin 2α = \(\frac{{539}}{{625}}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha \approx 29^\circ 47'36''\\\alpha \approx 60^\circ 12'23''\end{array} \right.\,\,\].

c) Hàm số \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\tan \alpha }}{{2.\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\\{y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{\left( {\frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}} \right)^2} + \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\tan \alpha \end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\\{y_I} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\end{array} \right.\)

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\).

Ta có \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}} \le \frac{{625\,000}}{{49}}\), dấu “=” xảy ra khi sin²α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.

Câu 3