Câu hỏi:
19/08/2023 297Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có y = sin x – cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Ta có y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \( = 2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3} - x}}{2}\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x}}{2}\)
\( = 2\sin \frac{\pi }{6}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = 2.\frac{1}{2}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x
= 1 – 2 (sin x cos x)2 = \(1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2}\)= \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
= \(1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2}\) = \(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\) = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\).
Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên \( - \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{1}{4}\), do đó \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)
hay \(\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le 1\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1
= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1
= 2cos2 x + 2cos x – 2
= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].
Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{5}{2}\), đạt được khi \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Câu 2:
Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos2 x bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Câu 3:
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Câu 4:
Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.
a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức
S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),
ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.
b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.
Câu 5:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Câu 6:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Câu 7:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).
B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).
về câu hỏi!