Câu hỏi:
13/07/2024 3,613
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương I có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có y = sin x – cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Ta có y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \( = 2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3} - x}}{2}\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x}}{2}\)
\( = 2\sin \frac{\pi }{6}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = 2.\frac{1}{2}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x
= 1 – 2 (sin x cos x)2 = \(1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2}\)= \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
= \(1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2}\) = \(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\) = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\).
Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên \( - \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{1}{4}\), do đó \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)
hay \(\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le 1\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1
= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1
= 2cos2 x + 2cos x – 2
= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].
Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{5}{2}\), đạt được khi \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(2\cos x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên:
+ Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{7}{6}\) , mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k ∈ {0; 1}.
+ Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{4}{3}\), mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k = 1.
Vậy phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) có 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Công thức nhân đôi:
sin 2a = 2sin a cos a.
cos 2a = cos2 a – sin2 a = 1 – 2sin2 a.
tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\).
Vậy đáp án D sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.