Câu hỏi:
13/07/2024 3,453
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương I có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có y = sin x – cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Ta có y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \( = 2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3} - x}}{2}\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x}}{2}\)
\( = 2\sin \frac{\pi }{6}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = 2.\frac{1}{2}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x
= 1 – 2 (sin x cos x)2 = \(1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2}\)= \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
= \(1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2}\) = \(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\) = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\).
Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên \( - \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{1}{4}\), do đó \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)
hay \(\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le 1\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1
= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1
= 2cos2 x + 2cos x – 2
= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].
Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{5}{2}\), đạt được khi \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Số nghiệm của phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Xem đáp án »
13/07/2024
32,038
Câu 2:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
26,348
Câu 3:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,418
Câu 4:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Xem đáp án »
13/07/2024
12,100
Câu 5:
Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,338
Câu 6:
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,251
Câu 7:
Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,890
🔥 Đề thi HOT:
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
-
10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)
-
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
-
10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận