Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin³ x – cot x;

b) \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\);

c) y = sin 2x + cos x;

d) \(y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\).

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số y = sin³ x – cot x là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Nếu kí hiệu f(x) = sin³ x + cot x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin³ (–x) – cot(– x) = – sin³ x + cot x = – (sin³ x – cot x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Nếu kí hiệu \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\) thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right) + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{\cos x + {{\left( { - \tan x} \right)}^2}}}{{\cos x}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin 2x + cos x là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = sin 2x + cos x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) là D = ℝ.

Ta có \(y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

\( = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)} \right] + \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)} \right]\)

\( = \sin \pi + \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)\( = 0 - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)\)

\( = - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)} \right]\)\( = - \cos 2x\).

Nếu kí hiệu \(f\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = - \cos 2x\) thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và f(– x) = – cos (– 2x) = – cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.