Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x;

b) y = cos 5x + tan\(\frac{x}{3}\).

Lời giải

a) Hàm số y = sin\(\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì T₁ = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \), hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T₂ = \(\frac{{2\pi }}{3}\). Ta có \(4\pi = 6 \cdot \frac{{2\pi }}{3}\).

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x tuần hoàn như sau:

\(f\left( {x + 4\pi } \right) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3\left( {x + 4\pi } \right)\)

          \( = \sin \left( {\frac{x}{2} + 2\pi } \right) + \cos \left( {3x + 12\pi } \right)\)

          \( = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f\left( x \right)\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T₁ = \(\frac{{2\pi }}{5}\), hàm số y = tan\(\frac{x}{3}\) hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{\pi }{{\frac{1}{3}}} = 3\pi \).

Ta có \(6\pi = 2 \times 3\pi = 15 \times \frac{{2\pi }}{5}\).

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan\(\frac{x}{3}\) tuần hoàn như sau

\(f\left( {x + 6\pi } \right) = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\)

          \( = \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)\)\( = \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.